08.1三角形面积与等积变形拉差距
重点
- 等底等高的三角形面积相等；底（或高）成比例则面积成比例。
- 中点把面积二等分；连辅助线构造等积三角形。
- 共边定理：共一条边的两三角形面积比 = 该边上对应顶点到边距离比（即另一边被交点分的比）。
例 1L1-课8 / L7-课8
等腰三角形 ABC 面积 18，AF=CE，AB=6，四边形 BEOF 比三角形 AOC 大 6，求 CE。
AB=BC、AF=EC ⇒ S△AOF = S△EOC，由“S△BEOF − S△AOC = 6”推出 S△ABE − S△AEC = 6；
又 S△ABE＋S△AEC = 18 ⇒ S△ABE = 12，S△AEC = 6 ⇒ BE:EC = 12:6 = 2:1 ⇒ CE = 6÷3 = 2。
本类是常见易错点。
又 S△ABE＋S△AEC = 18 ⇒ S△ABE = 12，S△AEC = 6 ⇒ BE:EC = 12:6 = 2:1 ⇒ CE = 6÷3 = 2。
本类是常见易错点。
例 2L8-B6
AD=DB，AE=EF=FC，阴影（△DEF）面积 5，求△ABC 面积。
连 CD：S△DAC = 3×S△DEF（AE=EF=FC，底为 3 份）；S△ABC = 2×S△DAC（AD=DB）。
故 S△ABC = 6×S△DEF = 6×5 = 30 平方厘米。
故 S△ABC = 6×S△DEF = 6×5 = 30 平方厘米。
例 3L7-B10
长方形 ABCD 面积 36，AE=3BE、DF=2AF，DE 与 CF 交于 O，求△FOD 面积。
连 EF、EC。S△CDF =(13)×36 = 12（DF = 23·AD）；S△ECD =(12)×36 = 18；S△DEF =(34)×S△CDF = 9（AE = 3EB）。
共边定理：CO:OF = S△ECD:S△DEF = 18:9 = 2:1，故 OF:CF = 1:3。
△FOD 与△FCD 同底 FD：S△FOD =(OF/CF)×S△FCD =(13)×12 = 4 平方厘米。
共边定理：CO:OF = S△ECD:S△DEF = 18:9 = 2:1，故 OF:CF = 1:3。
△FOD 与△FCD 同底 FD：S△FOD =(OF/CF)×S△FCD =(13)×12 = 4 平方厘米。
例 4L7-A4
一个梯形和一个平行四边形面积相等、高也相等，梯形上底是下底的一半，平行四边形的底是 6 厘米，求梯形的上底。
等高且面积相等 ⇒ 梯形 (上＋下)÷2 = 平行四边形的底 6 ⇒ 上＋下 = 12；又上 = 下÷2 ⇒ 下 = 8、上 = 4 厘米。
08.2面积比例模型与相似（蝴蝶·沙漏·影长）压轴
重点
- 蝴蝶定理：梯形/平行四边形对角线分出的四块，对顶两块面积相等，邻块成比例。
- 相似（沙漏/金字塔）模型：面积比 = 相似比²，由面积比开方得边长比。
- 中点连线构造的小三角形面积是原图形的固定分数。
- 影长问题：同一时刻同一地点，不同物体的“高:影”相等，即高与影长成正比。
例 1L2-课5
平行四边形 ABCD 面积 7.2，E 为 BC 中点，求阴影面积。
由蝴蝶定理，阴影面积 = S△DOC。S△DEC =(14)·S平行四边形，S△OEC =(112)·S；
S△DOC =(14−112)·7.2 =(16)·7.2 = 1.2。
S△DOC =(14−112)·7.2 =(16)·7.2 = 1.2。
例 2L5-课8
MN∥BC，S△MPN:S△BCP = 4:25，AM=4 cm，求 BM。
沙漏模型 ⇒ MN:BC = √4:√25 = 2:5；金字塔模型 ⇒ AM:AB = MN:BC = 2:5。
AB = 4×52 = 10，BM = 10−4 = 6 cm。
AB = 4×52 = 10，BM = 10−4 = 6 cm。
例 3L6-A10
平行四边形 ABCD 面积 120，P、Q、R、S 为各边中点，T 为 SR 中点，求△PQT 面积。
SR∥PQ，△PQT 与△PQS 等底等高 ⇒ S△PQT = S△PQS =(14)·120 = 30 平方厘米。
例 4L9-A6
同一时刻同一地点，小强身高 1.4 米、影长 2.4 米，此时一棵树的影长是 14.4 米，求树高。
同一时刻“高:影”相等：1.4:2.4 = 7:12。
树高 = 14.4×7÷12 = 8.4 米（高与影长成正比）。
树高 = 14.4×7÷12 = 8.4 米（高与影长成正比）。
08.3圆与扇形拉差距
重点
- 周长 C = 2πr = πd；面积 S = πr²；半圆、扇形按比例取。
- 圆环/小路：用外圆与内圆的差；走 n 圈乘以周长。
- 面积之比 = 半径之比的平方，反过来由面积比开方得半径比。
例 1L3-A10
圆形花坛外围一条宽 1.5 米的小路，内侧篱笆长 15.7 米，沿小路外侧走 100 圈约走多少米？
内圆半径 = 15.7÷(2π) ≈ 2.5 米；外圆半径 = 2.5＋1.5 = 4 米。
外侧周长 = 2π×4 ≈ 25.12 米，走 100 圈 ≈ 2512 米。
外侧周长 = 2π×4 ≈ 25.12 米，走 100 圈 ≈ 2512 米。
例 2L4-B4
边长 a 的正方形内剪最大的圆，圆与正方形周长比是多少？
圆直径 = a，周长 = πa；正方形周长 = 4a。比 = π:4。
例 3L8-B8
大小两圆，阴影占大圆 415、占小圆 35，小圆半径 4 cm，求大圆半径。
大圆面积×415 = 小圆面积×35 ⇒ 面积比 = 35 : 415 = 9:4 = 3²:2²。
半径比 = 3:2，大圆半径 = 4÷2×3 = 6 cm。
半径比 = 3:2，大圆半径 = 4÷2×3 = 6 cm。
08.4立体图形（表面积·体积）必拿分
重点
- 长方体棱长和 = 4×(长＋宽＋高)；表面积、体积按公式。
- 切割/拼接：表面积增加 = 新露出的面；圆柱沿直径切拼成长方体增加 2 个“半径×高”的矩形。
- 复杂拼搭用“三视图”：上下、左右、前后两两面积相等再×2。
例 1L2-A5
把一个长方体分割成 3 个完全相同的正方体，每个正方体表面积 54 平方厘米，原长方体体积？
正方体一个面 = 54÷6 = 9 → 棱长 3。原长方体 = 3 个正方体 = 3×3³ = 81 立方厘米。
例 2L1-B7
半径 8 cm 的圆柱形陶泥沿直径切拼成近似长方体，表面积增加 480 cm²，求原表面积。
增加的是 2 个“半径×高”矩形：480 = 2×8×高 → 高 = 30 cm。
原表面积 = 侧面 ＋ 2 底 = 2π×8×30 ＋ π×8²×2 = 1507.2＋401.92 = 1909.12 cm²。
原表面积 = 侧面 ＋ 2 底 = 2π×8×30 ＋ π×8²×2 = 1507.2＋401.92 = 1909.12 cm²。
例 3L7-B9
18 个棱长 1 cm 的小正方体拼成的立体，求表面积。
三视图法：上下看各 9、左右看各 7、前后看各 8。
表面积 =(9＋7＋8)×2 = 48 平方厘米。
表面积 =(9＋7＋8)×2 = 48 平方厘米。
例 4L9-B1
一个长方体体积是 576 立方厘米，正面面积 96、侧面面积 48 平方厘米，底面面积是多少？
正面×侧面×底面 =(长×宽×高)² = 体积²。
底面 = 576²÷(96×48) = 331776÷4608 = 72 平方厘米。
底面 = 576²÷(96×48) = 331776÷4608 = 72 平方厘米。
例 5L2-B9
棱长 4 cm 的正方体，在前后左右上下六个面的中心各挖去一个棱长 1 cm 的小正方体，求表面积。
原表面积 = 6×4² = 96；每挖一个洞：表面减 1、内壁增 5，净增 4，六个洞净增 24。
表面积 = 96＋24 = 120 平方厘米。
表面积 = 96＋24 = 120 平方厘米。
例 6L6-A9
一个零件形状（长 12、宽 10、高 5，挖去一块 6×6×5）的体积是多少？若每立方厘米铁重 7.8 克，这种零件多重？
体积 = 12×10×5 − 6×(12−6)×5 = 600−180 = 420 立方厘米；
重量 = 420×7.8 = 3276 克。
重量 = 420×7.8 = 3276 克。
08.5角度问题必拿分
重点
- 余角和 = 90°，补角和 = 180°，平角 = 180°，周角 = 360°。
- 对顶角相等；角平分线把角二等分。
- 方向角：以正北/正南为始边，按“偏东/偏西”读数。
例 1L5-A6
一个角的补角与它的余角的和，是平角的 76，求这个角。
设这个角为 x：补角(180−x)＋余角(90−x) = 平角×76 = 180×76 = 210。
270−2x = 210 → 2x = 60 → x = 30°。
270−2x = 210 → 2x = 60 → x = 30°。
例 2L7-A6
射线 OA 方向是北偏东 47°，∠AOB = 90°，求射线 OB 的方向。
OB 在 OA 顺时针 90°处：南偏东 (180−47−90) = 南偏东 43°。
例 3L6-A5
长方形纸沿 AC 对折使 B 落在 D，CF 平分∠DCE，求∠ACF。
对折 ⇒ ∠ACB = ∠ACD；又 CF 平分∠DCE。∠ACF = ∠ACD ＋ ∠DCF = ∠B…的一半组合，结果 = 90°。
例 4L8-A7
△ABC 中∠B = 65°，沿一条虚线剪去∠B（剪出∠1、∠2 两个角），求∠1＋∠2。
剪去顶角后，∠1＋∠2 与原∠B 构成的关系为：∠1＋∠2 = 360°−(180°−65°) = 360°−115° = 245°。
例 5L2-B5
已知∠AOB = 145°，∠AOC = 55°，∠BOD = 110°，求∠COD。
∠COD = ∠AOC ＋ ∠BOD − ∠AOB = 55°＋110°−145° = 20°。
例 6L4-课5
直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠AOD，∠FOC = 90°，∠1 = 40°，求∠2 与∠3 的度数。
由对顶角、邻补角与角平分线关系逐步推算：∠2 = 65°，∠3 = 50°。
08.6勾股定理与图形变换（旋转·折叠）拉差距
重点
- 勾股定理：直角三角形两直角边平方和 = 斜边平方（a²＋b²=c²）。
- 常见勾股数：3-4-5、5-12-13、6-8-10。
- 旋转/折叠：对应边、对应角不变，常产生全等三角形。
例 1L8-A9
直角三角形两直角边 6 cm 和 8 cm，斜边是圆的直径，求圆面积。
斜边 c = √(6²＋8²) = 10，半径 = 5。
圆面积 = π×5² = 3.14×25 = 78.5 平方厘米。
圆面积 = π×5² = 3.14×25 = 78.5 平方厘米。
例 2L1-A10
直角三角形三边 5、12、13，把短直角边对折到斜边重合，求折叠（阴影）部分面积。
折叠后△AED≌△ACD，AE=AC=5，BE=13−5=8。△BDE∽△BCA（∠E=∠C=90°、∠B 公共），BE:BC = 8:12 = 2:3 ⇒ DE = AC×23 = 103。
阴影（折叠部分）△AED 面积 =(12)×AE×DE =(12)×5×103 = 253 ≈ 8.3 平方厘米。
阴影（折叠部分）△AED 面积 =(12)×AE×DE =(12)×5×103 = 253 ≈ 8.3 平方厘米。
例 3L3-A9
正方形 ABCD，△ADF 旋转后得△ABE，AF=4，AB=7，求 DE。
旋转全等 ⇒ AE=AF=4，且 AD=AB=7。沿正方形边关系得 DE = AB − AF = 7−4 = 3。