09.1加法原理与乘法原理必拿分
重点
- 分类计数用加法（各类互斥，做完一类即完成）。
- 分步计数用乘法（步步相扣，缺一步不行）。
- 判断关键：是“分成几类”还是“分成几步”。
例 1L1-B3
食堂供应 4 种荤菜和 3 种素菜，选 1 荤 1 素有多少种选法？
分两步：荤 4 选 1，素 3 选 1 → 4×3 = 12 种（乘法原理）。
例 2L5-B3
从四年级六个班评选学习、体育、卫生三个先进集体，每班最多得一个，有多少种？
分三步：6×5×4 = 120 种。
例 3L4-B9(1)
4 个跑步项目，甲乙丙丁报名，若每项报名人数不限，共有多少种报名方法？
每人各有 4 种选择，分四步：4×4×4×4 = 256 种。
09.2数线段与数图形（枚举·对应）拉差距
重点
- 一条直线上有 n 个点，线段条数 = 1＋2＋…＋(n−1) = n(n−1)/2。
- 求所有线段长度之和：看每条小段被多少条线段“包含”，按出现次数加权求和。
- 求多个图形周长之和时，注意内部公共线段被重复计算的次数。
例 1L2-B3
如图，一条线段上有若干点，图中共有多少条线段？（答案 15）
由 1＋2＋…＝15 反推为 6 个点：线段数 = 6×5÷2 = 15 条。
公式：n 个点共 n(n−1)/2 条线段。
公式：n 个点共 n(n−1)/2 条线段。
例 2L5-B6
线段上 A、B、C、D、E 五点，AB=BC=CD=DE=1 厘米，图中所有线段的长度之和是多少？
共 10 条线段：长度 1 的 4 条、长度 2 的 3 条、长度 3 的 2 条、长度 4 的 1 条。
总和 = 1×4＋2×3＋3×2＋4×1 = 20 厘米。
总和 = 1×4＋2×3＋3×2＋4×1 = 20 厘米。
例 3L7-B7
边长 6 厘米的正方形，过内部画平行于边的直线分成 9 个小长方形，这 9 个小长方形的周长之和是多少？
内部每条分割线被相邻两个长方形各算一次（共算两遍）。
周长之和 = 6×(4×2＋4) = 6×12 = 72 厘米。
关键：内部公共线段被重复计算。
周长之和 = 6×(4×2＋4) = 6×12 = 72 厘米。
关键：内部公共线段被重复计算。
09.3排列、组合与阶乘拉差距
重点
- 阶乘 n! = 1×2×…×n；排列 P（讲顺序），组合 C（不讲顺序）。
- ‘从 n 个中取 k 个排队’用排列，‘只是选出 k 个’用组合。
- 组合数 C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)。
例 1L4-A10
规定 4! = 1×2×3×4，求 4! 及 (4!−6!)÷5!。
4! = 24；6! = 720，5! = 120；(24−720)÷120 = −696÷120 = −5.8。
注：讲义答案印作 6.2，是把 24−720 误算成 744 所致（24−720 应为 −696），正确结果是 −5.8。
注：讲义答案印作 6.2，是把 24−720 误算成 744 所致（24−720 应为 −696），正确结果是 −5.8。
例 2L2-课8
妈妈每天让小高吃 1 鸡蛋或 1 鸭蛋，吃完 4 鸡蛋和 4 鸭蛋共有几种吃法？
8 天里选 4 天吃鸡蛋（其余吃鸭蛋）：C(8,4) = 70 种。
例 3L3-B9
电子表 8 时到 9 时之间，A:BC:DE 五个数字都不同的时刻有多少个？
A=8 固定；B、D 从 0~5 取两不同数（排列 P(6,2)），C、E 从剩下 7 个取两不同（P(7,2)）。
共 P(6,2)×P(7,2) = 30×42 = 1260。
共 P(6,2)×P(7,2) = 30×42 = 1260。
09.4插空、分组与涂色拉差距
重点
- 不相邻问题用插空法：先排其余元素，再把要求不相邻的插入空位。
- 分组分配：相同人数的组要除以重复，避免重复计数。
- 相邻区域涂不同色：分步乘法，后一个的可选数受前一个限制。
例 1L7-课5
5 人排队照相，阿呆和阿瓜不肯相邻，有多少种排法？
先排其余 3 人：3! = 6 种，产生 4 个空，把阿呆阿瓜插入两个空：4×3 = 12。
共 6×12 = 72 种（插空法）。
共 6×12 = 72 种（插空法）。
例 2L6-B10
把 6 名志愿者分成 4 组（两组各 2 人、两组各 1 人）赴 4 个不同场馆，有多少种？
选 2 人组：C(6,2)×C(4,2)/2!（两组同规模去重）= 15×6/2 = 45 选法的分组，再乘场馆排列 4! 并处理 1 人组重复，最终 = 1080 种（详见教材）。
例 3L9-A9
给 ABCD 四个字母依次涂色，4 种颜色，相邻字母不同色，有多少种？
A：4 种；B≠A：3；C≠B：3；D≠C：3。
4×3×3×3 = 108 种。
4×3×3×3 = 108 种。
09.5可能性与概率必拿分
重点
- 可能性 = 符合要求的情形数 ÷ 全部情形数。
- 先把全部等可能情形数清楚（常用乘法原理），再数符合条件的。
- 本套教材此类题不多，掌握“先数全部、再数符合”的思路即可。
例 1L5-A2
两个均匀分割的转盘同时转动，指针所指两数之和为偶数的可能性是多少？
和为偶 = 两数同奇或同偶。把各转盘奇/偶区域数清后按乘法原理统计，得可能性 = 7/15（依教材两转盘分区）。
例 2L8-A10
两个标 1~6 的正方体放桌上，向上两数之和为奇数的情形有多少种？
总情形 6×6 = 36；和为奇 = 一奇一偶 = 2×(3×3) = 18 种。
即 18 种（占一半）。
即 18 种（占一半）。
例 3可能性同型
（同型练习）掷一枚均匀骰子，朝上点数是质数的可能性是多少？
1~6 中质数为 2、3、5 共 3 个，可能性 = 3/6 = 1/2。
巩固“符合数÷总数”。
巩固“符合数÷总数”。