02.1整除特征必拿分
重点
- 2：末位偶数；5：末位 0 或 5；3 和 9：各位数字之和能被 3（9）整除。
- 8：末三位能被 8 整除；25：末两位能被 25 整除。
- 组合判断：被 72 整除 = 同时被 8 与被 9 整除（72＝8×9）。
例 1L3-A2
三位数 2A2 是 3 的倍数，A 可能是哪些数字？
各位数字和 2＋A＋2 = A＋4 须是 3 的倍数。
A 可取 2、5、8（和为 6、9、12）。
A 可取 2、5、8（和为 6、9、12）。
例 2L8-课3
从 6,3,5,0,8,7 中选 5 个组成能同时被 2、3、5 整除的最小五位数。
被 2 且被 5 → 末位为 0；被 3 → 数字和是 3 的倍数。
取最小五数字 0,3,5,6,7，和 = 21（是 3 的倍数），末位放 0，其余由小到大：35670。
取最小五数字 0,3,5,6,7，和 = 21（是 3 的倍数），末位放 0，其余由小到大：35670。
例 3L3-B8
四位数 a123 与 123b 相乘要能被 72 整除，求 a−b。
72 = 8×9。a123 不是 8 的倍数，则必为 9 的倍数 → a＋1＋2＋3 是 9 的倍数 → a＝3；
则 123b 须是 8 的倍数 → 23b 被 8 整除 → b＝2。
a−b = 1（3−2）。
则 123b 须是 8 的倍数 → 23b 被 8 整除 → b＝2。
a−b = 1（3−2）。
02.2质数·合数·互质必拿分
重点
- 1 既不是质数也不是合数；最小质数 2，最小合数 4。
- 互质：公因数只有 1（不一定都是质数）。
- 若干质数之和的奇偶：和为偶数则必含唯一偶质数 2。
例 1L3-A3
写出两个互质的数：两个都是质数（ ）；两个都是合数（ ）；一质一合（ ）。
示例（答案不唯一）：都是质数 (2,3)；都是合数 (4,9)；一质一合 (7,8)。
关键：互质只要求公因数为 1。
关键：互质只要求公因数为 1。
例 2L3-课3
A、B、C 是三个不同的质数，A＋B＋C＝40，求 A×B×C。
三质数之和为偶数 → 必为“两奇一偶”，偶质数只能是 2；
另两奇质数之和 = 38，只能是 7 和 31。
积 = 2×7×31 = 434。
另两奇质数之和 = 38，只能是 7 和 31。
积 = 2×7×31 = 434。
例 3L7-B3
一个比例中两外项的积是最小的合数，一个内项是 5/6，另一个内项是多少？
最小合数 = 4，故两内项之积 = 4。
另一内项 = 4 ÷ 5/6 = 4×6/5 = 24/5。
易错：把“最小合数”误认成 1 或 2。
另一内项 = 4 ÷ 5/6 = 4×6/5 = 24/5。
易错：把“最小合数”误认成 1 或 2。
02.3质因数分解（万能拆解）拉差距
重点
- 先把数分解成质因数连乘，再按题目约束重新组合。
- “连续整数之积”“看错数字的乘法”“倒数之和”都靠它破题。
- 带余除法：被除数 − 余数 = 除数×商，对差做分解。
例 1L5-A3
四个小朋友年龄一个比一个大 1 岁，年龄之积是 3024，求各人年龄。
3024 = 2⁴×3³×7。试连续四数：6×7×8×9 = 3024。
年龄是 6、7、8、9 岁。
年龄是 6、7、8、9 岁。
例 2L8-B3
做两位数乘两位数，把一个乘数的 5 看成 8，得积 1104，求正确的积。
1104 = 2⁴×3×23。凑成两个两位数且含 8：1104 = 23×48。
把 8 改回 5：正确积 = 23×45 = 1035。
把 8 改回 5：正确积 = 23×45 = 1035。
例 3L9-A5
质数 a 除 2033，商是两位数，余数是 35，求质数 a。
2033 − 35 = 1998，且 a 整除 1998。
1998 = 2×3³×37 = 54×37，使商为两位数 → a = 37（商 54）。
1998 = 2×3³×37 = 54×37，使商为两位数 → a = 37（商 54）。
02.4最大公约数·最小公倍数拉差距
重点
- “恰好分完求最多份数/人数”用最大公约数（GCD）。
- “同时回到/再次相遇”用最小公倍数（LCM）。
- 互质两数：GCD=1，LCM=两数之积；两数 = GCD × 各自的互质因子。
例 1L4-B3
把 120 个苹果和 72 个橘子平均分给同学，恰好分完，班里最多有多少人？
求 GCD(120,72)。120 = 2³×3×5，72 = 2³×3²，GCD = 2³×3 = 24（人）。
例 2L2-B2
甲每 6 天、乙每 8 天、丙每 9 天去一次图书馆，3 月 5 日三人相遇，下次都到是几月几日？
求 LCM(6,8,9) = 72（天）。从 3 月 5 日起第 72 天 → 5 月 16 日。
例 3L3-课4
两个自然数和是 50，最大公约数是 5，求这两数的差。
设两数 = 5a、5b（a、b 互质），5a＋5b = 50 → a＋b = 10。
互质组：(9,1)→45 与 5，差 40；(7,3)→35 与 15，差 20。
差是 40 或 20。
互质组：(9,1)→45 与 5，差 40；(7,3)→35 与 15，差 20。
差是 40 或 20。
例 4L3-A4
两个连续偶数的和是 162，求这两个数、它们的最大公约数与最小公倍数。
两数 = 80 与 82；GCD = 2；LCM = 80×82÷2 = 3280。
例 5L9-A4
一批布，做上衣可做 20 件，做裤子可做 30 条，这批布可做几套（1 套 = 1 上衣＋1 裤子）？
一件上衣用布 1/20、一条裤子 1/30，一套用 1/20＋1/30 = 1/12。
套数 = 1÷(1/12) = 12 套。
套数 = 1÷(1/12) = 12 套。
02.5余数与同余压轴
重点
- 中国剩余定理类：逐条件凑，再加各除数的最小公倍数得通解。
- “除以某数余数相同”⇒该数整除任意两数之差，是差的公约数。
- 三位数/范围个数：找最小满足值，再每隔 LCM 取一个，数清个数。
例 1L2-A9
被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4 的最小自然数是？
逐步凑：满足前两条件的是 8、23、38、53…；再验被 7 除余 4 → 53。
例 2L6-B9
被 6 余 3、被 7 余 2、被 8 余 1 的三位数有多少个？
最小正整数为 9；6、7、8 的 LCM = 168。通解 9＋168k。
k=1,2,3,4,5 时为三位数（177、345、513、681、849），共 5 个。
k=1,2,3,4,5 时为三位数（177、345、513、681、849），共 5 个。
例 3L8-B9
一个 5~10 之间的整数，除 45、59、101 余数相同，这个数是？
余数相同 ⇒ 整除两数之差。101−45 = 56，59−45 = 14，GCD(56,14) = 14；
14 的约数中落在 5~10 的是 7。这个数 = 7。
14 的约数中落在 5~10 的是 7。这个数 = 7。