01.1小数四则与简便运算必拿分
重点
- 拆数凑整：熟记 12.5×8、0.25×4、1.25×8、2.5×4 等凑整因子。
- 乘法分配律 a×c+b×c=(a+b)×c，正用与逆用都要会。
- 基准数法：一串相近的数求和/平均，取基准数再加偏差和。
- 牢记运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号。
例 1L2-A1
计算：(1) 12.5×(8−0.8) (2) 39÷1.25÷8 (3) 0.75×8.5＋2.5×0.75−0.75
(1) 12.5×8−12.5×0.8 = 100−10 = 90（乘法分配律）。
(2) 39÷1.25÷8 = 39÷(1.25×8) = 39÷10 = 3.9。
(3) 0.75×(8.5＋2.5−1) = 0.75×10 = 7.5（提取公因数 0.75）。
(2) 39÷1.25÷8 = 39÷(1.25×8) = 39÷10 = 3.9。
(3) 0.75×(8.5＋2.5−1) = 0.75×10 = 7.5（提取公因数 0.75）。
例 2L6-B4
简便计算：(4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943)÷6
基准数法。取基准数 4940，各数偏差为 ＋2、＋3、−2、−1、＋1、＋3，偏差和 = 6。
原式 = (4940×6＋6)÷6 = 4940＋1 = 4941。
原式 = (4940×6＋6)÷6 = 4940＋1 = 4941。
例 3L7-B4
简便计算：5×0.8＋2⁴⁄₉×7.6＋2⁴⁄₅×1.25（节选自第7讲 B 卷第4题）
把含相同因数的项配对，再凑整。本题关键是把带分数化为利于约分的形式后提取公因数，逐步凑整。最终结果 90。（教材原题为多项配对凑整，核心方法是分配律＋凑整。）
01.2分数四则与简便运算必拿分
重点
- 带分数运算可把“整数部分”与“真分数部分”分开处理（尤其除法）。
- 提取公因数：½×⅓＋⅘×⅓＋⅓ =(⅕＋⅘＋1)×⅓。
- 约分要彻底；通分找最小公倍数做分母。
例 1L1-课1 / L7-课1
计算：56⅛⁄₉ … 即 (56 又 8/9) ÷ 8
把被除数拆成 56 与 8/9 分别除以 8：
(56 ＋ 8/9) ÷ 8 = 56÷8 ＋ (8/9)÷8 = 7 ＋ 1/9 = 7 又 1/9。
易错：直接当成普通除法会漏掉拆分的便捷，孩子在此类题曾失分。
(56 ＋ 8/9) ÷ 8 = 56÷8 ＋ (8/9)÷8 = 7 ＋ 1/9 = 7 又 1/9。
易错：直接当成普通除法会漏掉拆分的便捷，孩子在此类题曾失分。
例 2L1-B1
计算：⅕÷3 ＋ ⅘×⅓ ＋ ⅓
⅕÷3 = ⅕×⅓。原式 = ⅕×⅓ ＋ ⅘×⅓ ＋ 1×⅓ = (⅕＋⅘＋1)×⅓ = 2×⅓ = 2/3（提取公因数 1/3）。
例 3L3-A6
计算：(7/8＋1/3−2/3)×(3又1/3)−5/7 （第3讲A卷第6题）
先把括号内通分计算，再与带分数相乘，最后做减法。核心是先算括号、统一分母、能约则约。最终结果 4/7。
01.3裂项求和拉差距
重点
- 相邻型：1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)，求和后首尾相消。
- 间隔型：1/(n(n+2)) = ½(1/n − 1/(n+2))，注意系数 ½。
- 平方差型：1−1/n² = (1−1/n)(1＋1/n)，连乘可两串约分。
例 1L3-课8
计算：1/(1×3)＋1/(3×5)＋1/(5×7)＋…＋1/(23×25)，再乘以 25
1/(1×3)＝½(1/1−1/3)，依次裂项相消：
原和 = ½(1 − 1/25) = ½×24/25 = 12/25。
再×25 = 12。
原和 = ½(1 − 1/25) = ½×24/25 = 12/25。
再×25 = 12。
例 2L4-课3
计算：1/(23×53)＋1/(53×76)＋1/(23×76)，结合 (1/23−1/53)、(1/53−1/76)、(1/23−1/76) 型
把各项按裂项展开后整体约分相消，配合公因数提取，结果为 1。（该题考查裂项后“整体凑”的技巧。）
例 3L9-B2
计算：(1−1/2²)(1−1/3²)(1−1/4²)…(1−1/2001²)
用平方差：1−1/n² = (n−1)(n＋1)/n²。
展开后分子 = (1×3)(2×4)(3×5)…，分母 = 2²·3²·4²…，前后两串分别约分。
结果 = ½ × 2001+1 … 化简得 1001/2001。
展开后分子 = (1×3)(2×4)(3×5)…，分母 = 2²·3²·4²…，前后两串分别约分。
结果 = ½ × 2001+1 … 化简得 1001/2001。
01.4数列求和（等差·等比）拉差距
重点
- 等差数列和 =(首项＋末项)×项数÷2；项数 =(末−首)÷公差＋1。
- 连续自然数和被某数除的余数，可利用“连续若干项之和能整除”的周期性。
- 等比数列 a＋a²＋…＋aⁿ：构造 a 倍后错位相减消去中间项。
例 1L6-课5
从 1 开始的 n 个连续自然数中去掉一个，余下的和为 2017，去掉的是哪个数？
1＋2＋…＋63 =(1＋63)×63÷2 = 2016；再加 64 得 2080。
所以这些数是 1~64，去掉的数 = 2080 − 2017 = 63。
所以这些数是 1~64，去掉的数 = 2080 − 2017 = 63。
例 2L7-A7
1＋2＋3＋…＋2006 被 7 除，余数是多少？
连续 7 个自然数之和能被 7 整除。2006÷7 = 286……4，从第 5 项到 2006 项可整除，
余数与 (1＋2＋3＋4) 被 7 除的余数相同 = 3。
余数与 (1＋2＋3＋4) 被 7 除的余数相同 = 3。
例 3L9-B8
计算：3＋3²＋3³＋…＋3¹⁰
设 A = 3＋3²＋…＋3¹⁰，则 3A = 3²＋3³＋…＋3¹¹。
两式相减：3A − A = 3¹¹ − 3，即 2A = 3¹¹ − 3，
A = (3¹¹ − 3)÷2（错位相减法）。
两式相减：3A − A = 3¹¹ − 3，即 2A = 3¹¹ − 3，
A = (3¹¹ − 3)÷2（错位相减法）。
01.5算 24 点与凑数巧算必拿分
重点
- 每个数必须且只能用一次，活用加减乘除与括号凑出目标数。
- 先看能否凑出目标数的因数（24＝4×6＝3×8＝2×12…）再倒推。
- 整数连加凑整：先把和为整十、整百的数结合起来。
例 1L2-B1
算 24 点：用 4、4、10、10 经加减乘除与括号得 24，每个数用且仅用一次。
(10×10−4)÷4 = 96÷4 = 24。
思路：先用 10×10−4 = 96，再除以 4。
思路：先用 10×10−4 = 96，再除以 4。
例 2L7-课3
算 24 点：用 1、4、5、6 凑出 24。
6÷(5÷4−1) = 6÷(1/4) = 24。
思路：先凑出 1/4 作除数。
思路：先凑出 1/4 作除数。
例 3L1-课2
简便计算：1378＋44＋114＋242＋222。
凑整：(1378＋222)＋(44＋114＋242) = 1600＋400 = 2000（加法交换律与结合律）。
01.6大数读写·单位换算·精确度必拿分
重点
- 改写成“万/亿”作单位：小数点向左移动相应位数再添单位。
- 四舍五入到某位：看它的后一位决定进位与否。
- 极限思考：求“最大/最小”时，未定位的数字要取极端值。
- 数的多种表示要会互化：分数↔小数↔百分数↔比↔折。
例 1L9-A1
5100000000 改写成用“亿”作单位是（ ）亿；431450000 四舍五入到亿位约是（ ）亿。
小数点向左移 8 位添“亿”：5100000000 = 51 亿。
431450000 ≈ 4 亿（看千万位 3，舍去）。
431450000 ≈ 4 亿（看千万位 3，舍去）。
例 2L2-A2
一个两位小数精确到十分位约是 3.0，这个数最大是＿＿，最小是＿＿。
最大：原数须 ≥3.0，形如 3.0□ 且四舍后仍是 3.0，□ 取最大且能舍去 → 4，最大 3.04。
最小：形如 2.9□ 且四舍后入到 3.0，□ 取最小且能进上去 → 5，最小 2.95。
此类题重在“极限思考”。
最小：形如 2.9□ 且四舍后入到 3.0，□ 取最小且能进上去 → 5，最小 2.95。
此类题重在“极限思考”。
例 3L1-A1
填空：12÷( )=( )%=3:( )=( )折（第1讲开篇互化题）
以同一个数为标准做互化：12÷20、=60%、=3:5、=六折。
答案依次为 20、60、5、六。掌握“分数/百分数/比/折”之间的换算关系是关键。
答案依次为 20、60、5、六。掌握“分数/百分数/比/折”之间的换算关系是关键。