01.1小数四则与简便运算必拿分
重点
- 拆数凑整：熟记 12.5×8、0.25×4、1.25×8、2.5×4 等凑整因子。
- 乘法分配律 a×c+b×c=(a+b)×c，正用与逆用都要会。
- 基准数法：一串相近的数求和/平均，取基准数再加偏差和。
- 牢记运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号。
例 1L2-A1
计算：(1) 12.5×(8−0.8) (2) 39÷1.25÷8 (3) 0.75×8.5＋2.5×0.75−0.75
(1) 12.5×8−12.5×0.8 = 100−10 = 90（乘法分配律）。
(2) 39÷1.25÷8 = 39÷(1.25×8) = 39÷10 = 3.9。
(3) 0.75×(8.5＋2.5−1) = 0.75×10 = 7.5（提取公因数 0.75）。
(2) 39÷1.25÷8 = 39÷(1.25×8) = 39÷10 = 3.9。
(3) 0.75×(8.5＋2.5−1) = 0.75×10 = 7.5（提取公因数 0.75）。
例 2L6-B4
简便计算：(4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943)÷6
基准数法。取基准数 4940，各数偏差为 ＋2、＋3、−2、−1、＋1、＋3，偏差和 = 6。
原式 = (4940×6＋6)÷6 = 4940＋1 = 4941。
原式 = (4940×6＋6)÷6 = 4940＋1 = 4941。
例 3简便运算·提取公因数
简便计算：457×0.25 ＋ 327×0.25
提取公因数 0.25：原式 = 0.25×(457 ＋ 327) = 0.25×8 = 2。
要点：带分数先相加凑成整数 8，再乘 0.25。
要点：带分数先相加凑成整数 8，再乘 0.25。
01.2分数四则与简便运算必拿分
重点
- 带分数运算可把“整数部分”与“真分数部分”分开处理（尤其除法）。
- 提取公因数：15×13＋45×13＋13 =(15＋45＋1)×13。
- 约分要彻底；通分找最小公倍数做分母。
例 1L1-课1 / L7-课1
计算：(5689) ÷ 8
把被除数拆成 56 与 89 分别除以 8：
(56 ＋ 89) ÷ 8 = 56÷8 ＋ (89)÷8 = 7 ＋ 19 = 719。
易错：直接当成普通除法，会漏掉“整数、真分数分开除”的便捷拆分。
(56 ＋ 89) ÷ 8 = 56÷8 ＋ (89)÷8 = 7 ＋ 19 = 719。
易错：直接当成普通除法，会漏掉“整数、真分数分开除”的便捷拆分。
例 2L1-B1
计算：15÷3 ＋ 45×13 ＋ 13
15÷3 = 15×13。原式 = 15×13 ＋ 45×13 ＋ 1×13 = (15＋45＋1)×13 = 2×13 = 23（提取公因数 13）。
例 3分数四则·混合运算
计算：(78 − 14) × 45 ÷ 310
按顺序算：先括号 78−14 = 58；再乘 58×45 = 12；最后 12÷310 = 12×103 = 53 = 123。
要点：先括号、乘除从左到右、除以分数等于乘它的倒数。
要点：先括号、乘除从左到右、除以分数等于乘它的倒数。
01.3裂项求和拉差距
重点
- 相邻型：1n(n+1) = 1/n − 1n+1，求和后首尾相消。
- 间隔型：1n(n+2) = 12·(1/n − 1n+2)，注意系数 12。
- 平方差型：1−1/n² = (1−1/n)(1＋1/n)，连乘可两串约分。
例 1L3-课8
计算：11×3＋13×5＋15×7＋…＋123×25，再乘以 25
11×3 = 12·(11−13)，依次裂项相消：
原和 = 12·(1 − 125) = 12×2425 = 1225。
再×25 = 12。
原和 = 12·(1 − 125) = 12×2425 = 1225。
再×25 = 12。
例 2裂项·凑差型
计算：12×5＋15×7＋12×7（提示：7 = 2＋5）
因 7 = 2＋5，把三项通分到公分母 2×5×7：
分子 = 7＋2＋5 = 14，原式 = 142×5×7 = 1470 = 15。
规律：当 c = a＋b 时，1a×b＋1b×c＋1a×c = 2a×b（此处 = 22×5 = 15）。
分子 = 7＋2＋5 = 14，原式 = 142×5×7 = 1470 = 15。
规律：当 c = a＋b 时，1a×b＋1b×c＋1a×c = 2a×b（此处 = 22×5 = 15）。
例 3L4-课3
计算：76×(123−153)＋23×(153＋176)−53×(123−176)
按分母把同类项合并（注意 76 = 23＋53）：
含 123 的：7623 − 5323 = 2323 = 1；
含 153 的：−7653 ＋ 2353 = −5353 = −1；
含 176 的：2376 ＋ 5376 = 7676 = 1。
合计 = 1 −1 ＋1 = 1。
巧用 76=23+53 让三组分别凑成整数，是本题的关键。
含 123 的：7623 − 5323 = 2323 = 1；
含 153 的：−7653 ＋ 2353 = −5353 = −1；
含 176 的：2376 ＋ 5376 = 7676 = 1。
合计 = 1 −1 ＋1 = 1。
巧用 76=23+53 让三组分别凑成整数，是本题的关键。
例 4L9-B2
计算：(1−12²)(1−13²)(1−14²)…(1−12001²)
用平方差：1−1/n² = (n−1)(n＋1)/n²。
展开后分子 = (1×3)(2×4)(3×5)…，分母 = 2²·3²·4²…，前后两串分别约分。
结果 = 12 ×2001＋12001 … 化简得 10012001。
展开后分子 = (1×3)(2×4)(3×5)…，分母 = 2²·3²·4²…，前后两串分别约分。
结果 = 12 ×2001＋12001 … 化简得 10012001。
01.4数列求和（等差·等比）拉差距
重点
- 等差数列和 =(首项＋末项)×项数÷2；项数 =(末−首)÷公差＋1。
- 连续自然数和被某数除的余数，可利用“连续若干项之和能整除”的周期性。
- 等比数列 a＋a²＋…＋aⁿ：构造 a 倍后错位相减消去中间项。
例 1L6-课5
从 1 开始的 n 个连续自然数中去掉一个，余下的和为 2017，去掉的是哪个数？
1＋2＋…＋63 =(1＋63)×63÷2 = 2016；再加 64 得 2080。
所以这些数是 1~64，去掉的数 = 2080 − 2017 = 63。
所以这些数是 1~64，去掉的数 = 2080 − 2017 = 63。
例 2L7-A7
1＋2＋3＋…＋2006 被 7 除，余数是多少？
连续 7 个自然数之和能被 7 整除。2006÷7 = 286……4，从第 5 项到 2006 项可整除，
余数与 (1＋2＋3＋4) 被 7 除的余数相同 = 3。
余数与 (1＋2＋3＋4) 被 7 除的余数相同 = 3。
例 3L9-B8
计算：3＋3²＋3³＋…＋3¹⁰
设 A = 3＋3²＋…＋3¹⁰，则 3A = 3²＋3³＋…＋3¹¹。
两式相减：3A − A = 3¹¹ − 3，即 2A = 3¹¹ − 3，
A = (3¹¹ − 3)÷2（错位相减法）。
两式相减：3A − A = 3¹¹ − 3，即 2A = 3¹¹ − 3，
A = (3¹¹ − 3)÷2（错位相减法）。
01.5算 24 点与凑数巧算必拿分
重点
- 每个数必须且只能用一次，活用加减乘除与括号凑出目标数。
- 先看能否凑出目标数的因数（24＝4×6＝3×8＝2×12…）再倒推。
- 整数连加凑整：先把和为整十、整百的数结合起来。
例 1L2-B1
算 24 点：用 4、4、10、10 经加减乘除与括号得 24，每个数用且仅用一次。
(10×10−4)÷4 = 96÷4 = 24。
思路：先用 10×10−4 = 96，再除以 4。
思路：先用 10×10−4 = 96，再除以 4。
例 2L7-课3
算 24 点：用 1、4、5、6 凑出 24。
6÷(5÷4−1) = 6÷(14) = 24。
思路：先凑出 14 作除数。
思路：先凑出 14 作除数。
例 3L1-课2
简便计算：1378＋44＋114＋242＋222。
凑整：(1378＋222)＋(44＋114＋242) = 1600＋400 = 2000（加法交换律与结合律）。
01.6大数读写·单位换算·精确度必拿分
重点
- 改写成“万/亿”作单位：小数点向左移动相应位数再添单位。
- 四舍五入到某位：看它的后一位决定进位与否。
- 极限思考：求“最大/最小”时，未定位的数字要取极端值。
- 数的多种表示要会互化：分数↔小数↔百分数↔比↔折。
例 1L9-A1
5100000000 改写成用“亿”作单位是（ ）亿；431450000 四舍五入到亿位约是（ ）亿。
小数点向左移 8 位添“亿”：5100000000 = 51 亿。
431450000 ≈ 4 亿（看千万位 3，舍去）。
431450000 ≈ 4 亿（看千万位 3，舍去）。
例 2L2-A2
一个两位小数精确到十分位约是 3.0，这个数最大是＿＿，最小是＿＿。
最大：原数须 ≥3.0，形如 3.0□ 且四舍后仍是 3.0，□ 取最大且能舍去 → 4，最大 3.04。
最小：形如 2.9□ 且四舍后入到 3.0，□ 取最小且能进上去 → 5，最小 2.95。
此类题重在“极限思考”。
最小：形如 2.9□ 且四舍后入到 3.0，□ 取最小且能进上去 → 5，最小 2.95。
此类题重在“极限思考”。
例 3L1-A1
填空：12÷( )=( )%=3:( )=( )折（第1讲开篇互化题）
以同一个数为标准做互化：12÷20、=60%、=3:5、=六折。
答案依次为 20、60、5、六。掌握“分数/百分数/比/折”之间的换算关系是关键。
答案依次为 20、60、5、六。掌握“分数/百分数/比/折”之间的换算关系是关键。