06.1行程·相遇与追及拉差距
重点
- 相遇：速度和 × 相遇时间 = 总路程。
- 追及：速度差 × 追及时间 = 起始距离差。
- 先出发再追：先算先行者的领先量，再除以速度差。
例 1L2-A8
队伍长 400 米以 2 米/秒前进，战士从排尾到排头再返回，速度 3 米/秒，往返需多少秒？
去（追及，同向）：400÷(3−2) = 400 秒；
回（相遇，相向）：400÷(3＋2) = 80 秒；
往返共 480 秒。
回（相遇，相向）：400÷(3＋2) = 80 秒；
往返共 480 秒。
例 2L8-B5
两中队去 20 千米外春游，一队步行 4 千米/时，二队骑车 12 千米/时，一队先走 2 小时，二队出发后几小时追上？
一队领先 = 4×2 = 8 千米；追及时间 = 8÷(12−4) = 1 小时。
例 3L8-B8
快慢车从 A、B 相对开出，速度比 5:4，慢车先开 27 千米快车才出发，相遇时快车离 B 比慢车离 A 多 32 千米，求 A、B 距离。
快车从 B 出发后行驶时间 t：快车行 5t、慢车从 A 共行 27＋4t，相遇时两段之和 = AB。
快车离 B = 5t、慢车离 A = 27＋4t，依题 5t −(27＋4t) = 32 → t = 59。
AB = 5t ＋(27＋4t) = 9t＋27 = 9×59＋27 = 558 千米。
快车离 B = 5t、慢车离 A = 27＋4t，依题 5t −(27＋4t) = 32 → t = 59。
AB = 5t ＋(27＋4t) = 9t＋27 = 9×59＋27 = 558 千米。
例 4L5-B10
12 时整时针与分针重合，问每隔多长时间重合一次？
这是追及问题：分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°，分针比时针多走一圈 360°。
6x−0.5x = 360 → 5.5x = 360 → x = 72011 分钟（约 65 又 511 分）。
6x−0.5x = 360 → 5.5x = 360 → x = 72011 分钟（约 65 又 511 分）。
例 5L6-B8
甲、乙从 A、B 同时出发不断往返，甲 20、乙 50 千米/时，第 10 次与第 18 次迎面相遇地点相距 60 千米，求 A、B 距离。
把 AB 按速度比分成 7 段，迎面相遇地点每 7 次一循环：第 10 次同第 4 次、第 18 次同第 6 次。两地点相距 60 千米对应固定份数，反推 AB = 210 千米。
多次往返相遇要抓“周期性”。
多次往返相遇要抓“周期性”。
例 6L9-课7
甲、乙从 A、B 相向出发，速度比 4:3，相遇后继续到端点立即返回，第二次相遇点距第一次相遇点 30 千米，求 A、B 距离。
把全程看作 7 份：第一次相遇距 A 4 份；到第二次相遇两人共走 3 个全程，甲走 12 份，12−7=5，距 A 7−5=2 份。
两相遇点相距 4−2=2 份 = 30 千米，每份 15，全程 7 份 = 105 千米。
两相遇点相距 4−2=2 份 = 30 千米，每份 15，全程 7 份 = 105 千米。
06.2行程·流水与环形压轴
重点
- 顺水速 = 静水速 ＋ 水速；逆水速 = 静水速 − 水速；漂流物速度 = 水速。
- 环形同向：每追上一次比对方多跑一圈；相向：每相遇一次合跑一圈。
- “帽子顺水漂”类：以河水为参照物，物相对静止。
例 1L3-课6
游泳者逆流而上在 A 处丢帽，向前游 15 分钟才发现，立即返回，在距 A 15 千米处追到帽子，返回追帽用了几分钟？
以河水为参照，帽子相对不动，人以静水速去 15 分钟、回也 15 分钟回到原处。
返回追帽用 15 分钟。
返回追帽用 15 分钟。
例 2L9-B6
轮船从大坝到上海顺水 4 昼夜，上海到大坝逆水 6 昼夜，放漂流瓶顺水漂到上海需几昼夜？
设全程 1。顺水速 = 14、逆水速 = 16，水速 =(14−16)÷2 = 124。
漂流瓶速 = 水速 = 124，需 24 昼夜。
漂流瓶速 = 水速 = 124，需 24 昼夜。
例 3L5-A10
甲乙在环形跑道直径两端同时同向出发，周长 300 米，甲 5 米/秒、乙 3 米/秒，多久后甲第二次追上乙？
第一次追上比乙多跑半圈 150 米：150÷(5−3) = 75 秒；
第二次再多跑一整圈 300 米：300÷2 = 150 秒；
共 75＋150 = 225 秒。
第二次再多跑一整圈 300 米：300÷2 = 150 秒；
共 75＋150 = 225 秒。
06.3行程·平均速度与路程比例拉差距
重点
- 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，绝不是“速度的平均数”。
- 同一路段：时间比 = 路程比 ÷ 速度比。
- 往返同一路程的平均速度 = 2×v₁×v₂÷(v₁＋v₂)（调和平均）。
例 1L1-课6 / L7-课6
上坡 4 千米/时，原路下坡 6 千米/时，求上、下坡的平均速度。
设单程 s。总时间 = s/4 ＋ s/6 = 5s/12；总路程 2s。
平均速度 = 2s÷(5s/12) = 4.8 千米/时。
平均速度 = 2s÷(5s/12) = 4.8 千米/时。
例 2L1-B9
从 A 到 D：平地 30、上山 22.5、下山 36 千米/时，下山是上山的 2 倍，全程 72 千米，求总时间。
上、下山平均速度 =(s＋2s)÷(s/22.5＋2s/36) = 30，恰等于平地速。
全程平均速 = 30 千米/时，总时间 = 72÷30 = 2.4 小时。
全程平均速 = 30 千米/时，总时间 = 72÷30 = 2.4 小时。
例 3L2-A10
一段路上坡:平路:下坡路程比 2:3:4，走完三段时间比 4:5:6，求三段速度比（最简比）。
速度比 = 路程比 ÷ 时间比 = (24):(35):(46) = (12):(35):(23)，通分化简 = 15:18:20。
06.4工程问题拉差距
重点
- 把总工程量看作单位 1，效率 = 1 ÷ 单独完成时间。
- 合作效率 = 各人效率之和；时间 = 1 ÷ 合作效率。
- 相同时间内的工作量之比 = 效率之比。
例 1L6-A3
一件工程，甲单独 10 天、乙单独 15 天完成，两人合作 3 天完成全工程的几分之几？
效率：甲 110、乙 115，合作效率 = 110＋115 = 16。
3 天完成 3×16 = 12。
3 天完成 3×16 = 12。
例 2L1-B10 / L7-A10
甲 3 分钟加工 1 个，乙 3.5 分钟 1 个，丙 4 分钟 1 个，相同时间共加工 3650 个，各加工多少？
效率比 = 13 : 13.5 : 14 = 28:24:21（总 73 份）。
甲 = 3650×2873 = 1400，乙 = 1200，丙 = 1050。
甲 = 3650×2873 = 1400，乙 = 1200，丙 = 1050。
例 3L9-B9
甲按时可提前 2 天，乙要超时 3 天；甲乙合作 2 天后由乙单独做恰好按时完成，求甲乙合作需几天？
设规定工期 T 天：甲单独 T−2 天、乙单独 T＋3 天。甲乙合作 2 天、其余由乙独做且恰好按时：2T−2 ＋ T/(T＋3) = 1，解得 T = 12 → 甲单独 10 天、乙单独 15 天。
合作效率 = 110＋115 = 16，两人合作需 6 天。
合作效率 = 110＋115 = 16，两人合作需 6 天。